Chapter 3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics

Chapter 3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics#

3.2.1 Planes#

3차원의 평면은 다음 식으로 나타낼 수 있습니다. $ $π_{1} X + π_{2} Y + π_{3} Z + π_{4} = 0$ $ homogeneous 좌표계에서는 스케일 값은 고려하지 않으므로, 각 미지수에 곱해진 값의 비율이 중요합니다. 따라서 평면은 dof 3(degree of freedom, 자유도)을 가집니다.

즉, 평면의 homogeneous representation로 나타내보면 다음과 같습니다. $ $π = (π_{1}, π_{2}, π_{3}, π_{4})^{T}$ $점 X 가 평 면$ \pi $위 에 있 을 때, 간 결 하 게 나 타 내 면 다 음 과 같 습 니 다 .$ $π^{T} X = 0$ $

Join and incidence relations#

3차원 사영 공간에서는 면, 점, 선의 다양한 기하학적 관계가 있습니다.

동일 직선 상에 있지 않은 점 3개 또는 동일 직선 상에 있지 않은 점 1개와 선 1개로 유일한 평면을 결정할 수 있습니다.
서로 다른 2개의 평면은 한 직선에서 교차합니다.
서로 다른 3개의 평면은 한 점에서 교차합니다.

Three points define a plane#

점 3개가 평면 $π$ 위에 있다고 가정하면, $π^{T} X_{i} = 0$ (i=1,2,3) 이므로, 행렬로 나타내보면 다음과 같다.

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} X_{1}^{T} \\ X_{2}^{T} \\ X_{3}^{T} \end{array}] π = 0 \end{array}

단, 3개의 점은 선형 독립이어야(동일 직선 상에 있지 않은 점 3개) 고유한 평면 방정식을 구할 수 있다. 이 경우에는 rank는 3입니다. 따라서 평면 $π$ 는 1차원 null space 로 고유하게 구할 수 있습니다. 만약 좌변의 왼쪽 행렬 rank가 2이고 null space가 2차원이면 점은 동일선상에 존재하며 그 선을 축으로 하는 pencil of plane을 정의할 수 있습니다.

null space를 사용하지 않고 좀 더 간단하게 평면을 구할 수 있는 방법도 있습니다. 평면 $π$ 를 정의하는 세 점 $X_{i}$ 와 일반 점이 X로 구성된 행렬 $M = [X, X_{1}, X_{2}, X_{3}]$ 가 있다고 할 때, 점 X가 평면 $π$ 위에 있으면 행렬식 $d e t M = 0$ 이 됩니다.

열 X에 대해서 행렬식을 전개하면 다음과 같습니다.

d e t M = x_{1} D_{234} - x_{2} D_{134} + x_{3} D_{124} - x_{4} D_{123}

$D_{j k l}$ 은 4x3 행렬 $[X_{1}, X_{2}, X_{3}]$ 의 jkl 행으로 구성된 행렬식

$π$ 의 점에 대해 det M = 0이므로, 평면 계수는 다음과 같습니다.

π = (D_{234} - D_{134} + D_{124} - D_{123})^{T}

이 식은 다음 식의 null space 해가 됩니다.

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} X_{1}^{T} \\ X_{2}^{T} \\ X_{3}^{T} \end{array}] π = 0 \end{array}

Three planes define a point#

세 개의 평면 $π_{i}$ (i=1,2,3) 이 있을 때, 세 평면의 교점 X는 다음 행렬식을 만족한다.

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} π_{1}^{T} \\ π_{2}^{T} \\ π_{3}^{T} \end{array}] X = 0 \end{array}

평면의 사영 변환#

점 변환 식에서 평면 변환 식으로 바꾼 식은 다음과 같습니다. $ $π^{'} = H^{- T} π$ $

Parametrized points on a plane#

평면 $π$ 상의 점을 다음으로 표현할 수 있습니다. $ $X = M x$ $4 x 3 행 렬 M 의 열 은$ \pi^T $의 r a n k 3 인 n u l l s p a c e 를 생 성 합 니 다 . 수 식 으 로 나 타 내 보 면 다 음 과 같 습 니 다 .$ $π^{T} M = 0$ $M 은 유 일 하 지 않 습 니 다 . 평 면 이$ \pi=(a, b, c, d)^T $일 때, a 가 0 이 아 니 라 면$ M^T = [p|I_{3x3}] $으 로 나 타 낼 수 있 습 니 다 . 여 기 서$ p=(-b/a, -c/a, -d/a)^T$ 입니다.

3.2.2 Lines#

선은 두 점의 연결 또는 두 면의 교차로 정의할 수 있습니다. 3차원 공간에서 dof는 4입니다. 3.1그림에서와 같이 직교하는 평면 2개의 교점으로 정의한 직선을 생각해보면 dof를 계산하기 쉽습니다.

[Fig 3.1] 직교 평면과의 교점으로 선을 지정할 수 있습니다. 각각의 교점은 dof 2를 가져서 3차원 사영 공간의 직선의 총 dof는 4입니다.

ch3_2_figure1